Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B和點C的坐標分別為（3，0）、（0，﹣3），拋物線的對稱軸為x＝1，D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點E為線段BC上一動點，過點E作x軸的垂線，與拋物線交于點F，求四邊形ACFB面積的最大值，以及此時點E的坐標．

（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PCD為等腰三角形？若存在，寫出點P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）四邊形ACFB面積的最大值為，此時點E的坐標為（，﹣）；（3）存在滿足條件的P點，其坐標為（1，﹣3）或（1，﹣2）或（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）

【解析】

（1）由B、C的坐標，結合拋物線對稱軸，根據待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）由B、C坐標可求得直線BC解析式，設出F點坐標，則可表示出E點坐標，從而可求得EF的長，則可表示出△CBF的面積，從而可表示出四邊形ACFB的面積，再利用二次函數的性質可求其最大值，進而求出E點的坐標；

（3）由拋物線解析式可求得D點坐標，可設P點坐標為（1，t），則可表示出PC、PD和CD的長，由等腰三角形可分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三種情況，分別得到關于t的方程，即可求得P點坐標．

解：（1）∵點B和點C的坐標分別為（3，0）（0，﹣3），拋物線的對稱軸為x＝1，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2））設直線BC解析式為y＝kx+b，

代入B（3，0），C（0，﹣3）得，

解得：，

∴直線BC解析式為y＝x﹣3，

∵E點在直線BC上，F點在拋物線上，

∴設F（x，x2﹣2x﹣3），E（x，x﹣3），

∵點F在線段BC下方，

∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，

∴S△BCF＝EFOB＝×3（﹣x2+3x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，

又∵S△ABC＝ABOC＝×4×3＝6，

∴S四邊形ACFB＝S△ABC+S△BCF＝6﹣（x﹣）2+＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當x＝時，S四邊形ACFB有最大值，最大值為，此時E點坐標為（，﹣），

綜上可得：四邊形ACFB面積的最大值為，此時點E的坐標為（，﹣）；

（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4），且C（0，﹣3），

∵P點為拋物線對稱軸上的一點，

∴設P（1，t），

∴PC＝＝，PD＝|t+4|，CD＝＝，

∵△PCD為等腰三角形，

∴分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三種情況，

①當PC＝PD時，則＝|t+4|，解得t＝﹣3，

∴此時P點坐標為（1，﹣3）；

②當PC＝CD時，則＝，解得t＝﹣2或t＝﹣4（與D點重合，舍去），

∴此時P點坐標為（1，﹣2）；

③當PD＝CD時，則|t+4|＝，解得t＝﹣4+或t＝﹣4﹣，

∴此時P點坐標為（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）；

綜上可知，存在滿足條件的P點，其坐標為（1，﹣3）或（1，﹣2）或（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）．