Question

【題目】直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.將其繞直角頂點C逆時針旋轉一個角（且），得到Rt△.

（1）如圖，當邊經過點B時，求旋轉角的度數；

（2）在三角板旋轉的過程中，邊與AB所在直線交于點D，過點 D作DE∥交邊于點E，聯結BE.

①當時，設AD=，BE=，求與之間的函數解析式及自變量 的取值范圍；

②當時，求AD的長.

Answer 1

【答案】（1）＝;（2）① （0﹤﹤2）;②AD=1或.

【解析】（1）由旋轉的性質可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①當0°＜α＜90°時，點D在AB邊上（如圖）．根據平行線DE∥A'B'分線段成比例知、及由旋轉性質可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此證明△CAD∽△CBE；根據相似三角形的對應邊成比例、直角三角形的性質及∠A=30°求得y=x（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：當點D在AB邊上時，AD=x，BD=AB-AD=2-x；當點D在AB的延長線上時，AD=x，BD=x-2．

解：（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴．

由旋轉可知：，，

∴△為等邊三角形．

∴＝．

（2）① 當時，點D在AB邊上（如圖）.

∵ DE∥，∴ .

由旋轉性質可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.

∴ ∴ .

∴ △CAD∽△CBE.

∴.∵∠A=30° ∴ .

∴（0﹤﹤2）

②當時，點D在AB邊上

AD=x，，∠DBE=90°.

此時，.

當S =時，.整理，得 .

解得 ，即AD=1.

當時，點D在AB的延長線上（如圖）.

仍設AD=x，則，∠DBE=90°.

.

當S =時，.

整理，得 .

解得 ，（負值，舍去）.

即.

綜上所述：AD=1或.

“點睛”本題主要考查旋轉、全等三角形、解直角三角形、平行線分線段成比例等知識．解決本題的關鍵是結合圖形，分類討論．