Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，AD平分∠CAB交BC于D，E為射線AC上的一個動點，EF⊥AD交射線AB于點F，聯結DF．

（1）求DB的長；

（2）當點E在線段AC上時，設AE＝x，S△BDF＝y，求y關于x的函數解析式；（S△BDF表示△BDF的面積）

（3）當AE為何值時，△BDF是等腰三角形．（請直接寫出答案，不必寫出過程）

Answer 1

【答案】（1）BC＝4；（2）y＝﹣x+12（0≤x≤6）；（3）當AE的值為0或12﹣4或12+4時，△BDF是等腰三角形．

【解析】

（1）根據含30度角的直角三角形可得AB、BC的長，由AD平分∠CAB可得∠CAD＝∠CAB＝30°，解直角三角形可得CD的長，則DB＝BC﹣CD；

（2）如圖1中，作DH⊥AB于H，根據角平分線的性質可得DC＝DH＝2，再根據已知AD平分∠CAB，EF⊥AD證出∠AEG＝∠AFG，則AE＝AF＝x，BF＝12﹣x，由三角形的面積計算公式即可得y關于x的函數解析式，注意x的取值范圍；

（3）分三種情況：①當點E與A重合時，△BDF是等腰三角形，②當點E在線段AC上，BD＝BF時，△BDF是等腰三角形，③當點E在線段AC的延長線上，BF＝BD時，△BDF是等腰三角形，分別求出AE的值即可.

（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，

∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝12，BC＝AC＝6，

∵AD平分∠CAB交BC于D，

∴∠CAD＝∠CAB＝30°，

∴CD＝ACtan30°＝2，

∴DB＝BC﹣CD＝6﹣2＝4；

（2）如圖1中，作DH⊥AB于H．

∵DA平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，

∴DC＝DH＝2，

∵EF⊥AD，

∴∠AGE＝∠AGF＝90°，

∵∠EAG＝∠FAG，∠AEG+∠EAG＝90°，∠AFG+∠FAG＝90°，

∴∠AEG＝∠AFG，

∴AE＝AF＝x，

∴BF＝12﹣x，

∴S△BDF＝BFDH＝（12﹣x）2＝﹣x+12（0≤x≤6），

即y=﹣x+12（0≤x≤6）；

（3）①當點E與A重合時，△BDF是等腰三角形，此時x＝0，即AE＝0．

②如圖2中，當BD＝BF時，

∵BD＝4，

∴BF＝4，

∴AE＝AF＝AB﹣BF＝12﹣4，

③如圖2中，當BF＝BD=4時，

∴AE＝AF′＝AB+BF′＝12+4，

綜上所述，當AE的值為0或12﹣4或12+4時，△BDF是等腰三角形．

故答案為：（1）BC＝4；（2）y＝﹣x+12（0≤x≤6）；（3）當AE的值為0或12﹣4或12+4時，△BDF是等腰三角形．