Question

把兩個直角邊長分別為3、4與9、12的Rt△ADE和Rt△ABC按照如圖所示的位置放置，已知DE=4，AC=12，且E，A，C三點在同一直線上，連接BD，取BD的中點M，連接ME，MC，則△EMC與△DAB面積的比值為（ ）

A．1
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：過D作DF⊥BC于F，取EC的中點N，連接MN，得出四邊形DECF是矩形，求出DF=EC=15，CF=DE=4，求出AB=15，AD=5，BD=5，求出∠DAB=90°，求出△DAB的面積是×AD×AB=×5×15，根據梯形中位線得出MN∥DE，MN=（DE+BC）=，推出MN⊥EC，求出△MEC的面積是×EC×MN=，代入求出即可．
解答：解：
過D作DF⊥BC于F，取EC的中點N，連接MN，
∵∠DEA=∠BCE=∠DFC=90°，
∴四邊形DECF是矩形，
∴DF=EC=3+12=15，CF=DE=4，
∴BF=9-4=5，
在Rt△BAC中，BC=9，AC=12，由勾股定理得：AB=15，
同理AD=5，
在Rt△DFB中，DF=15，BF=5，由勾股定理得BD=5，
∵AD=5，AB=15，
∴AD²+AB²=25+225=250，BD²=250，
∴AD²+AB²=BD²，
∴∠DAB=90°，
即△DAB的面積是×AD×AB=×5×15，
∵∠DEA=∠BCE=90°，
∴DE∥BC，
∵M為BD中點，N為EC中點，
∴MN∥DE，MN=（DE+BC）=×（4+9）=，
∴MN⊥EC，
∴△MEC的面積是×EC×MN=×（3+12）×=，
∴△EMC與△DAB面積的比是（×5×15）：=13：10，
故選B．
點評：本題考查了梯形的性質，梯形的中位線，三角形的面積，等腰直角三角形等知識點的應用，通過做此題培養了學生運用定理進行計算的能力，題目比較好，但有一定的難度．