Question

（2012•拱墅區(qū)一模）把兩個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為3、4與9、12的Rt△ADE和Rt△ABC按照如圖所示的位置放置，已知DE=4，AC=12，且E，A，C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME，MC，則△EMC與△DAB面積的比值為（　�。�

• A．1
• B．

  13

  10

• C．

  169

  150

• D．

  5 +1

  2

Answer 1

分析：過(guò)D作DF⊥BC于F，取EC的中點(diǎn)N，連接MN，得出四邊形DECF是矩形，求出DF=EC=15，CF=DE=4，求出AB=15，AD=5，BD=5

10

，求出∠DAB=90°，求出△DAB的面積是

1

2

×AD×AB=

1

2

×5×15，根據(jù)梯形中位線(xiàn)得出MN∥DE，MN=

1

2

（DE+BC）=

13

2

，推出MN⊥EC，求出△MEC的面積是

1

2

×EC×MN=

13×15

4

，代入求出即可．

解答：解：
過(guò)D作DF⊥BC于F，取EC的中點(diǎn)N，連接MN，
∵∠DEA=∠BCE=∠DFC=90°，
∴四邊形DECF是矩形，
∴DF=EC=3+12=15，CF=DE=4，
∴BF=9-4=5，
在Rt△BAC中，BC=9，AC=12，由勾股定理得：AB=15，
同理AD=5，
在Rt△DFB中，DF=15，BF=5，由勾股定理得BD=5

10

，
∵AD=5，AB=15，
∴AD²+AB²=25+225=250，BD²=250，
∴AD²+AB²=BD²，
∴∠DAB=90°，
即△DAB的面積是

1

2

×AD×AB=

1

2

×5×15，
∵∠DEA=∠BCE=90°，
∴DE∥BC，
∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，N為EC中點(diǎn)，
∴MN∥DE，MN=

1

2

（DE+BC）=

1

2

×（4+9）=

13

2

，
∴MN⊥EC，
∴△MEC的面積是

1

2

×EC×MN=

1

2

×（3+12）×

13

2

=

13×15

4

，
∴△EMC與△DAB面積的比是

13×15

4

：（

1

2

×5×15）=13：10，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的性質(zhì)，梯形的中位線(xiàn)，三角形的面積，等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算的能力，題目比較好，但有一定的難度．