Question

【題目】如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN=α，∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C、D不重合）．

(1)如圖①，當α=90°時，求證：DE+DF=AD．

(2)如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當α=60°時，(1)中的結論變為 ，請給出證明．

(3)在(2)的條件下，將∠QPN繞點P旋轉，若旋轉過程中∠QPN的邊PQ與邊AD的延長線交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數量關系，直接寫出結論，不用加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）DFDE＝AD．

【解析】

（1）利用正方形的性質得出角與線段的關系，易證得△APE≌△DPF，可得出AE＝DF，即可得出結論DE＋DF＝AD，

（2）取AD的中點M，連接PM，利用菱形的性質，可得出△MDP是等邊三角形，易證△MPE≌△FPD，得出ME＝DF，由DE＋ME＝AD，即可得出DE＋DF＝AD，

（3）①當點E落在AD上時，DE＋DF＝AD，②當點E落在AD的延長線上時，DFDE＝AD．

（1）正方形ABCD的對角線AC，BD交于點P，

∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，

∵∠APE＋∠EPD＝∠DPF＋∠EPD＝90°，

∴∠APE＝∠DPF，

在△APE和△DPF中

，

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴AE＝DF，

∴DE＋DF＝AD；

（2）如圖②，取AD的中點M，連接PM，

∵四邊形ABCD為∠ADC＝120°的菱形，

∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，

∴△MDP是等邊三角形，

∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，

∵∠PAM＝30°，

∴∠MPD＝60°，

∵∠QPN＝60°，

∴∠MPE＝∠FPD，

在△MPE和△DPF中，

，

∴△MPE≌△DPF（ASA）

∴ME＝DF，

∴DE＋DF＝AD；

（3）如圖，

如圖③，當點E落在AD的延長線上時，

取AD的中點M，連接PM，

∵四邊形ABCD為菱形，∠ADC＝120°，

∴AD＝CD，∠DAP＝30°，AC⊥BD，

∴∠ADP＝∠CDP＝60°，

∵AM＝MD，

∴PM＝MD，

∴△MDP是等邊三角形，

∴∠PME＝∠MPD＝60°，PM＝PD，

∵∠QPN＝60°，

∴∠MPE＝∠FPD，

在△MPE和△DPF中，

，

∴△MPE≌△DPF（ASA）．

∴ME＝DF，

∴DFDE＝MEDE＝DM＝AD．