在圖中△ABC的外部任取一點P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點D、E、F，連接DE、EF、DF．
（1）△ABC與△DEF相似嗎？為什么？
（2）如果△ABC的周長為24，求△DEF的周長．

解：（1）相似．
理由：∵D，E是PA，PB的中點，
∴DE= $\text{[math]}$ AB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△ABC∽△DEF；

（2）∵△ABC∽△DEF，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△DEF的周長是： $\text{[math]}$ ×24=12．
分析：（1）相似，利用三角形的中位線定理，可以得到兩個三角形的對應邊的比相等，根據三邊的比對應相等的三角形相似即可證得；
（2）兩個三角形相似，且已知相似比，根據相似三角形的周長的比等于相似比即可求解．
點評：本題考查了三角形的中位線定理，以及相似三角形的判定與性質，正確證明兩個三角形的對應邊的比相等是關鍵．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，△ABC中，∠A=90°以直角邊AB為邊，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是斜邊BC的高，延長FA使AG=BC．
求證：BG=CD．

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科目：初中數學 來源： 題型：

在圖中△ABC的外部任取一點P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點D、E、F，連接DE、EF、DF．
（1）△ABC與△DEF相似嗎？為什么？
（2）如果△ABC的周長為24，求△DEF的周長．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

（1）閱讀理解：
我們知道，只用直尺和圓規不能解決的三個經典的希臘問題之一是三等分任意角，但是這個任務可以借助如圖1所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點為P，
“寬臂”的寬度=PQ=QR=RS，（這個條件很重要哦！）勾尺的一邊MN滿足M，N，Q三點共線（所以PQ⊥MN）．
下面以三等分∠ABC為例說明利用勾尺三等分銳角的過程：
第一步：畫直線DE使DE∥BC，且這兩條平行線的距離等于PQ；
第二步：移動勾尺到合適位置，使其頂點P落在DE上，使勾尺的MN邊經過點B，同時讓點R落在∠ABC的BA邊上；
第三步：標記此時點Q和點P所在位置，作射線BQ和射線BP．
請完成第三步操作，圖中∠ABC的三等分線是射線、．
（2）在（1）的條件下補全三等分∠ABC的主要證明過程：
∵，BQ⊥PR，
∴BP=BR．（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）
∴∠=∠．
∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，
∴∠=∠．
（角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）
∴∠=∠=∠．
（3）在（1）的條件下探究： $數學公式$ 是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請在圖2中∠ABC的外部畫出 $數學公式$ （無需寫畫法，保留畫圖痕跡即可）．

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科目：初中數學 來源：江蘇省期中題 題型：解答題

在圖中△ABC的外部任取一點P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點D、E、F，連接DE、EF、DF。

（1）△ABC與△DEF相似嗎？為什么？
（2）如果△ABC的周長為24，求△DEF的周長。

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在圖中△ABC的外部任取一點P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點D、E、F，連接DE、EF、DF．
（1）△ABC與△DEF相似嗎？為什么？
（2）如果△ABC的周長為24，求△DEF的周長．

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在圖中△ABC的外部任取一點P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點D、E、F，連接DE、EF、DF．（1）△ABC與△DEF相似嗎？為什么？（2）如果△ABC的周長為24，求△DEF的周長．

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