Question

【題目】如圖，過點A（5，）的拋物線y＝ax2+bx的對稱軸是x＝2，點B是拋物線與x軸的一個交點，點C在y軸上，點D是拋物線的頂點．

（1）求a、b的值；

（2）當△BCD是直角三角形時，求△OBC的面積；

（3）設點P在直線OA下方且在拋物線y＝ax2+bx上，點M、N在拋物線的對稱軸上（點M在點N的上方），且MN＝2，過點P作y軸的平行線交直線OA于點Q，當PQ最大時，請直接寫出四邊形BQMN的周長最小時點Q、M、N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）當△BDC為直角三角形時，△OBC的面積是或；（3）點Q、M、N的坐標分別為，，．

【解析】

（1）把點A的坐標代入函數解析式，利用對稱軸方程，聯立方程組，解方程組求得a、b的值;

（2）設點C的坐標是（0，m）．由于沒有指明直角△BCD中的直角，所以需要分類討論：當∠CBD=90°、∠CDB=90°、∠BCD=90°時，利用勾股定理列出關于m的方程，通過解方程求得m的值；然后利用三角形的面積公式解答；

（3）利用待定系數法確定直線OA解析式為．由拋物線上點的坐標特征和兩點間的距離公式求得：PQ＝x(x23x)＝x2+x＝(x)2+，所以利用二次函數最值的求得推知：當PQ最大時，線段BQ為定長．又因為MN=2，所以要使四邊形BQMN的周長最小，只需QM+BN最小．利用軸對稱-最短路徑問題得到點Q．最后利用方程思想解答．

解：（1）∵過點A(5， )的拋物線y＝ax2+bx的對稱軸是x＝2，

∴ ，

解之，得；

（2）設點C的坐標是（0，m）．由（1）可得拋物線，

∴拋物線的頂點D的坐標是（2，﹣3），點B的坐標是（4，0）．

當∠CBD＝90°時，有BC2+BD2＝CD2．

∴ ，

解之，得，

∴；

當∠CDB＝90°時，有CD2+BD2＝BC2．

∴，

解之，得，

∴；

當∠BCD＝90°時，有CD2+BC2＝BD2．

∴，此方程無解．

綜上所述，當△BDC為直角三角形時，△OBC的面積是或；

（3）設直線y＝kx過點A(5， )，可得直線．

由（1）可得拋物線，

∴PQ=x(x23x)＝x2+x＝(x)2+，

∴當x=時，PQ最大，此時Q點坐標是 ．

∴PQ最大時，線段BQ為定長．

∵MN＝2，

∴要使四邊形BQMN的周長最小，只需QM+BN最小．

將點Q向下平移2個單位長度，得點，作點關于拋物線的對稱軸的對稱點，直線BQ2與對稱軸的交點就是符合條件的點N，此時四邊形BQMN的周長最小．

設直線y＝cx+d過點和點B（4，0），

則,

解之，得,

∴直線過點Q2和點B．

解方程組 得,

∴點N的坐標為，∴點M的坐標為，

所以點Q、M、N的坐標分別為 ， ，．