Question

【題目】如圖，已知函數y=﹣ x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與函數y=x的圖象交于點M，點M的橫坐標為2．

（1）求點A的坐標；
（2）在x軸上有一動點P（a，0）（其中a＞2），過點P作x軸的垂線，分別交函數y=﹣ +b和y=x的圖象于點C、D．
①若OB=2CD，求a的值；
②是否存在這樣的點P，使以B、O、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點M的橫坐標為2，點M在直線y=x上，

∴M（2，2），

∵點M（2，2）在一次函數y=﹣ x+b的圖象上，

∴b=3，

∴一次函數的表達式為y=﹣ x+3，

令y=0，得x=6，

∴點A的坐標為（6，0）

（2）解：①由題意得：C（a，﹣12a+3），D（a，a），

∴CD=a﹣（﹣ a+3）= a﹣3，

∵OB=2CD．

∴2（ a﹣3）=3，

∴a=3；

②存在，

∵CD∥OB，且以B、O、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴OB=CD，

∴ a﹣3=3，解得a=4，

∴P（4，0），

即存在滿足條件的點P，其坐標為（4，0）．

【解析】（1）可先求得M點坐標，代入直線y=﹣ x+b的解析式，令y=0則可求得A點坐標；（2）①用a可表示出C、D的坐標，從而可表示出CD的長，則由條件可得到關于a的方程，可求得a的值；②當四邊形為平行四邊形時則可得OB=CD，同①可得到關于a的方程，可求得a的值，則可求得P點坐標．
【考點精析】利用平行四邊形的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．