Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB下方的半圓上不與點A，B重合的一個動點，點C為AP中點，延長CO交⊙O于點D，連接AD，過點D作⊙O的切線交PB的廷長線于點E，連CE交AB于點F，連接DF．

（1）求證：△DAC≌△ECP；

（2）填空：

①四邊形ACED是何種特殊的四邊形？

②在點P運動過程中，線段DF、AP的數量關系是　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①四邊形ACED是平行四邊形；②DF=AP，

【解析】

（1）由已知條件易得∠CDE=∠DCA=∠DCP=∠P=90°，由此可得四邊形DCPE是矩形，從而可得DC=EP，這樣結合AC=PC即可由“SAS”證得△DAC≌△ECP；

（2）①由（1）中所得△DAC≌△ECP可得AD=CE，∠DAC=∠ECP，從而可得AD∥CE，由此即可得到四邊形ACED是平行四邊形；②由OA=OD,AD∥CE易得∠DAO=∠ADC=∠DCF，由此可得A、C、F、D四點共圓，結合∠DAF=∠ADC可得在該圓中弦DF=AC，結合點C是AP的中點即可得到DF=AP.

（1）∵DE為切線，

∴OD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∵點C為AP的中點，

∴DC⊥AP，

∴∠DCA=∠DCP=90°，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠APB=90°，

∴四邊形DEPC為矩形，

∴DC=EP，

∵在△DAC和△ECP中：，

∴△DAC≌△ECP；

（2）①∵△DAC≌△ECP，

∴AD=CE，∠DAC=∠ECP，

∴AD∥CE，

∴四邊形ACED是平行四邊形；

②∵OA=OD，

∴∠DAF=∠ADC，

∵AD∥CE，

∴∠ADC=∠DCF，

∴∠DAF=∠DCF，

∴A，C，F，D四點共圓，

又∵∠ADF=∠ADC，

∴AC=DF，

∵AC=AP，

∴DF=AP.