Question

【題目】已知A（x,0）,B(0,y),且x，y滿足,且點A與點C關于y軸對稱.

（1）求C坐標；

（2）如圖1，點D在射線BA上，連接CD，若b=4,∠D=∠CBA，求CD長

（3）如圖2，如圖2，BC=2OC，點Q是平面內一點，連接 QB,QC,QA，若QB=m，QC=OA，求AQ最大值.

Answer 1

【答案】（1）（-a，0）；（2）16；（3）3a.

【解析】

（1）將式子進行配方，利用平方式的非負性得到x和y的值，然后根據點A與點C關于y軸對稱得到點C的坐標；

（2）過點C作x軸的垂線交AB的延長線于點G，可得到OB為△ACG的中位線，再通過∠D=∠CBA得到CD=CG，即可得到CD的長度；

（3）由于QC=OA，所以點Q是在以C為圓心CQ為半徑的圓上運動，當A、C、Q三點在同一直線上且Q在C點左側時，AQ取得最大值，由此求得AQ最大為3a.

解：（1）∵

∴

∴，

∴A（a,0）,B（0，2b），

又∵點A與點C關于y軸對稱，

∴C點坐標為（-a，0）.

（2）過點C作x軸的垂線交AB的延長線于點G，

易得OB∥CG，O為AC的中點，

∴OB為△ACG的中位線，即，

∵b=4，

∴OB=2b=8，CG=2OB=16，

由點A與點C關于y軸對稱，可得∠ABO=∠CBO=∠DBC，

又∵∠D=∠CBA，

∴∠D=∠ABO，

由OB∥CG，可知∠ABO=∠CGB，

∴∠D=∠CGB，

∴CD=CG=16.

（3）由以上可得，A（a,0）,C（-a，0），

∵QC=OA，

∴所以點Q是在以C為圓心CQ為半徑的圓上運動，

當A、C、Q三點在同一直線上且Q在C點左側時，AQ取得最大值，

此時AQ=a+a+a=3a.