Question

【題目】尤秀同學遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設BC=a，AC=b，AB=c．

求證：．

該同學仔細分析后，得到如下解題思路：

先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故，設PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證．

（1）請你根據以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程．

（2）利用題中的結論，解答下列問題：

在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5．

【解析】

試題分析：（1）設PF=m，PE=n，連結EF，如圖1，根據三角形中位線性質得EF∥AB，EF=c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據勾股定理得到，，則，而，所以；

（2）利用（1）的結論得==45，再利用△AEG∽△CEB可計算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據平行線分線段長比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得=5．

試題解析：（1）設PF=m，PE=n，連結EF，如圖1，∵AF，BE是△ABC的中線，∴EF為△ABC的中位線，AE=b，BF=a，∴EF∥AB，EF=c，∴△EFP∽△BPA，∴，即=，∴PB=2n，PA=2m，在Rt△AEP中，∵，∴①，在Rt△AEP中，∵，∴②，①+②得，在Rt△EFP中，∵，∴，∴，∴；

（2）∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，∵E，F分別為線段AO，DO的中點，由（1）的結論得==45，∵AG∥BC，∴△AEG∽△CEB，∴，∴AG=1，同理可得DH=1，∴GH=1，∴GH∥BC，∴，∴MB=3GM，MC=3MH，∴，∴=5．