Question

14．已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分線；ED平分∠AEB，交AB于點D；∠CAE=∠B．
（1）求∠B的度數(shù)．
（2）如果AC=3cm，求AB的長度．
（3）猜想：ED與AB的位置關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先由角平分線的定義及已知條件得出∠CAE=∠EAB=∠B，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，那么∠B=30°；
（2）根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AB=2AC=6cm；
（3）先由∠EAB=∠B，根據(jù)等角對等邊得出EB=EA，又ED平分∠AEB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到ED⊥AB．

解答 解：（1）∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠CAE=∠EAB，
∵∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠EAB=∠B．
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，
∴∠B=30°；

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，
∴AB=2AC=6cm；

（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：
∵∠EAB=∠B，
∴EB=EA，
∵ED平分∠AEB，
∴ED⊥AB．

點評 本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記性質(zhì)與判定定理是解題的關鍵．