Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為$\sqrt{5}$的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，頂點A的坐標為（0，2），點B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）直角頂點C的坐標為（-1，0）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若點D是（1）中所求拋物線在第三象限內的一個動點，連接BD、CD．當△BCD的面積最大時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出OC，即可解答；
（2）過點B作x軸的垂線，通過構建的全等三角形可確定點B的坐標；再利用待定系數法確定函數的解析式即可．
（3）已知B、C點的坐標，那么在求△BCD的面積時，可以B、C的橫坐標差的絕對值作為△BCD的一個高，過D作x軸的垂線交直線BC于M，那么可將DM當作此時△BCD的底，可據此求出關于△BCD的面積的函數關系式，再由所得函數的性質來求解．

解答 解：（1）∵點A的坐標為（0，2），
∴OA=2，
在Rt△AOC中，CO=$\sqrt{A{C}^{2}-A{O}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}=1$，
∴點C的坐標為（-1，0），
故答案為：（-1，0）．
（2）如圖，過點B作BF⊥x軸，垂足為F，

則∠BFC=∠COA=90°
∵∠BCF+∠ACO=∠ACO+∠CAO=90°
∴∠BCF=∠CAO，
又∵BC=CA，
在△BCF和△CAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠CA}\\{∠BFC=∠AOC}\\{BC=CA}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△CAO，
∴BF=CO=1，FC=OA=2，
∴OF=1+2=3，
∴B（-3，1），
把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：1=9a-3a-2，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x-2．
（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，將B（-3，1），C（-1，0）代入上式得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
設點D的坐標為（m，$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m-2），過點D作DM⊥x軸交直線BC于點M
所以點M的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），
MD=${y}_{M}-{y}_{D}=-\frac{1}{2}{m}^{2}-m+\frac{3}{2}$．
再設三角形BCD的面積為S．
S=$\frac{1}{2}$MD（x_C-x_B）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}{m}^{2}-m+\frac{3}{2}$）×2=-$\frac{1}{2}（m+1）^{2}$+2，
因為S是m的二次函數，且a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴拋物線開口向下，函數有最大值，
即當m=-1時S有最大值2，此時點D的坐標為（-1，-2）．

點評 該題涉及的內容較多，難度也較大，主要考查的知識點有：函數解析式的確定、特殊幾何圖形的判定和性質以及圖形面積的解法等．在解題時，一定要注意數形結合思想的合理應用，通過部分輔助線往往可以題目變的簡潔、明了．