Question

【題目】如圖1，在△ABC和△MNB中，∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB= BC，點N在BC邊上，連接AN，CM，點E，F(xiàn)，D，G分別為AC，AN，MN，CM的中點，連接EF，F(xiàn)D，DG，EG．
（1）判斷四邊形EFDG的形狀，并證明；
（2）如圖2，將圖1中的△MBN繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，猜想此時四邊形EFDG的形狀，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形EFDG是平行四邊形，

理由：如圖1，連接AM，

∵E、F、D、G分別為AC、AN、MN、CM的中點，

∴FD=EG= AM，EF=GD= CN，

∴四邊形EFDG是平行四邊形；

（2）解：四邊形EFDG是正方形，

理由：如圖2，連接CN，AM，分別交EF、CN于點L與K，

由已知得：點M和點D分別落在BC與AB邊上，

∴CM=CB﹣BM=4﹣2=2，

∴CM=BN，

∵∠ACM=∠CBN=90°，AC=BC，

∴△ACM≌△CBN（SAS），

∴AM=CN，∠CAM=∠BCN，

∵∠ACK+∠KCM=90°，

∴∠ACK+∠CAK=90°，

在△ACK中，∠AKC=180°﹣（∠ACK+∠CAK）=180°﹣90°=90°，

由（1）可得EG∥AM∥FD，EF∥CN∥GD，

∴四邊形EFDG是平行四邊形，

∴∠GEL=∠ELA=∠AKC=90°，

∴四邊形EFDG是矩形，

∵EG= AM= CN=EF，

∴四邊形EFDG是正方形．

【解析】（1）四邊形EFDG是平行四邊形，理由為：如圖1，連接AM，由E、F、G、H分別為中點，利用利用中位線定理得到兩組對邊相等，即可得證；（2）四邊形EFDG為正方形，理由為：如圖2，連接CN，AM，分別交EF、CN于點L與K，由CB﹣BM求出CM的長，得到CM=BN，再由一對直角相等，AC=BC，利用SAS得到三角形ACM與三角形CBN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等得到AM=CN，∠CAM=∠BCN，利用同角的余角相等，求出∠AKC為直角，利用兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形EFDG為平行四邊形，再由一個內(nèi)角為直角，且鄰邊相等即可得證．
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和三角形中位線定理，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半即可以解答此題．