Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，二次函數（，為常數）的圖像頂點的縱坐標為．

（1）直接寫出、滿足的關系式是______；

（2）若點，（）是二次函數（，為常數）的圖像上的兩點．

①當，時，求的長度；

②當時，求的長度；

③若存在實數，使得，且成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；③．

【解析】

（1）由頂點坐標公式可以求出a,b之間的關系；

（2）①當a=-3時，求出二次函數的解析式及m的值，然后求出P,Q的坐標，從而可求出PQ的長；

②首先求出二次函數的解析式，令y=0,求出x的值，從而可求出PQ的值；

③首先求出二次函數的解析式，令y=m,求出x的值，從而可求出PQ的值，再結合得，，則PQ15-2c-(3-2c)，從而求出m的取值范圍.；

解：（1）∵二次函數（，為常數）的圖像頂點的縱坐標為，

∴.

∴.

（2）①∵，，

∴b=5.

又m=b,

∴二次函數的解析式為，,.

當y=5時，，解得x1=0,x2=6.

∴PQ=6.

②∵，∴b=a2-4.

∴二次函數的解析式為.

當y=0時，∴.

∴[x-(a-2)][x-(a+2)]=0.

∴x=a-2或a+2.

∴PQ==4.

③∵，∴b=a2-4.

∴二次函數的解析式為.

當y=m時，.

∴（x-a）2=4+m.

∴x1=a-,x2=a+.

∴PQ=2.

∵，，

215-2c-(3-2c).

解得.