Question

如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，⊙O過D、B、C三點，∠DOC＝2∠ACD＝90°．
(1)求證：直線AC是⊙O的切線；
(2)如果∠ACB＝75°．
①若⊙O的半徑為2，求BD的長；
②求CD：BC的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①BD=2；②CD：BC的值為﹣1．

試題分析：（1）由∠DOC=2∠ACD=90°易得∠ACD=45°，而OC=OD，則可判斷△OCD為等腰直角三角形，所以∠OCD=45°，則∠OCA=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到直線AC是⊙O的切線；
（2）作DH⊥BC于H．
①先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CD=OC=2，再根據(jù)圓周角定理得∠B=∠COD=∠B=45°，由于∠ACB=75°，∠ACD=45°，所以∠BCD=30°；在Rt△CDH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DH=DC=，在Rt△BDH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=DH=2；
②設(shè)DH=x，在Rt△CDH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=2DH=2x，CH=DH=x；在Rt△BDH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BH=DH=x，則BC=（+1）x，所以CD：BC=2x：（+1）x=（﹣1）：1．
試題解析：（1）∵∠DOC=2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°，
∵OC=OD，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴∠OCD=45°，
∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=90°，
∴OC⊥AC，
∴直線AC是⊙O的切線；
（2）作DH⊥BC于H，如圖，

①在Rt△OCD中，CD=OC=2，
∵∠B=∠COD，
∴∠B=45°，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，
在Rt△CDH中，DH=DC=，
在Rt△BDH中，BD=DH=×=2；
②設(shè)DH=x，
在Rt△CDH中，CD=2DH=2x，CH=DH=x，
在Rt△BDH中，BH=DH=x，
∴BC=BH+CH=x+x=（+1）x，
∴CD：BC=2x：（+1）x=（﹣1）：1，即
CD：BC的值為﹣1．