Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=m，E為BC邊上一點，沿AE翻折△ABE，點B落在點F處．

（1）連接CF，若CF//AE，求EC的長（用含m的代數式表示）；

（2）若EC=，當點F落在矩形ABCD的邊上時，求m的值；

（3）連接DF，在BC邊上是否存在兩個不同位置的點E，使得？若存在，直接寫出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EC=；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）由翻折的性質可知BF⊥AE，CF//AE，所以，根據直角三角形的性質，兩銳角互余，可證得EF=EC，所以點E是BC的中點，即可求得EC的長；

（2）分兩種情況進行分類討論，當點F在AD邊上，很容易可證得四邊形ABEF是正方形，所以BE=，就可求出m的值，當點F在CD上，由翻折的性質可得，，AB=AF=10，在△ECF中由勾股定理可表示出CF的長，在△ADF中，由勾股定理即可求出m的值；

（3）由可知，點F到AD邊的距離為5,有兩種情況，第一種情況當點F在矩形內，可得，第二種情況當點F在AD邊上方，可得,要使在BC邊上存在兩個不同位置的點E，所以．

（1）連接CF，BF，BF交AE于點H，如下圖所示：

∵△ABE沿AE翻折到了△AFE，由翻折可得：

∴BE=EF，BF⊥AE，

∴，

∵CF//AE，

∴，

∴，，

∵BE=EF

∴∠BFE=∠FBE

∴∠EFC=∠ECF

∴EF=EC

∴EC=．

（2）①當點F在AD上，如下圖所示：

由翻折可得：

AB=AF=10，BE=EF，∠BAE=∠FAE=45

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABE=90，AD//BC，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=BE=AF=10，

∴四邊形ABEF是正方形，

∵EC=，

∴=10

∴；

②當點F在邊CD上，如下圖所示：

∵EC=，

∴

由翻折可得：

BE=EF，AB=AF=10，

在Rt△ECF中，由勾股定理得：

∴，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：

，

解得：

∴綜上所述：或．

（3）存在，

過F點作AD的垂線，交AD于G點，設FG為h，

∵，

∴，

∴，

∴，

①當點F再AD的下方，點E和點C重合時，如圖所示：

在△AGF中，由勾股定理得：

,

∴,

在△EHF中，由勾股定理得：

，

，

當點F在AD的上方時，點E和點C重合，如圖所示：

在△AGF中，由勾股定理得：

,

∴,

在△EHF中，由勾股定理得：

，

，

∴在BC邊上存在兩個不同位置的點E，，

故答案為：．