Question

【題目】新知認識：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別用a，b，c表示，如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．

（1）特殊驗證：如圖1，在△ABC中，若a＝，b＝1，c＝2，求證：△ABC為倍角三角形；

（2）模型探究：如圖2，對于任意的倍角三角形，若∠A＝2∠B，求證：a2＝b（b+c）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

)利用勾股定理的逆定理求得為直角三角形，由銳角三角函數求得三角形的三個內角，根據“倍角三角形”的定義進行證明即可；
如圖2，延長BA至D，使，通過證明∽，可得，結合等腰三角形的等角對等邊的性質，可得結論．

證明：（1）如圖1，，，．
，
，
，
∴∠B＝30°，

∴

∴∠A＝2∠B．

∴△ABC為倍角三角形；

（2）如圖2，延長BA至D，使AD＝AC，

∴∠D＝∠ACD，

∵∠BAC＝∠D+∠ACD＝2∠D，且∠BAC＝2∠B，

∴∠B＝∠D＝∠ACD，

∴BC＝CD＝a，AD＝AC＝b，

∴BD＝AB+AD＝b+c，

∵∠D＝∠D，∠B＝∠ACD，

∴△ACD∽△CBD．

，
，
∴.