Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AD＝2，BC＝4，延長BC到E，使CE＝AD．

(1)寫出圖中所有與△DCE全等的三角形，并選擇其中一對說明全等的理由；

(2)探究：當梯形ABCD的高DF等于多少時，對角線AC與BD互相垂直？請回答并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE，見解析；(2)當 DF＝3 時，AC⊥BD，見解析.

【解析】

（1）與△DCE全等的三角形有：△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE，可以用全等三角形的判定方法來進行驗證.

（2）需要根據已知條件及等腰梯形的性質，平行四邊形的性質得出BF=FE=3，因為DF=3，則∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，從而推出∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，根據平行的性質得出∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD.

解：(1)△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE．

∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECD．

∵CE＝DA，DC＝CD，

∴△CDA≌△DCE．

(2)當 DF＝3 時，AC⊥BD．

理由如下：

∵AD∥BC，AB＝CD，∴AC＝BD．

∵AD∥BC，CE＝AD，∴四邊形 ACED 為平行四邊形

∴AC＝DE，∴BD＝DE．

∵DF＝3，∴DF＝BF＝EF．

∴∠DBF＝∠BDF＝45°，∠E＝∠EDF＝45°．

∴∠BDE＝90°．∴BD⊥DE．

∵AC∥DE，∴AC⊥BD．