Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，AB＝4，交y軸于點C，對稱軸是直線x＝1．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）連接BC，E是線段OC上一點，E關于直線x＝1的對稱點F正好落在BC上，求點F的坐標；

（3）動點M從點O出發，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，交線段BC于點Q．設運動時間為t（t＞0）秒．

①若△AOC與△BMN相似，請直接寫出t的值；

②△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，C點坐標為(0，3)；（2）F(2，1)；（3）①t＝1；②當t或秒時，△BOQ為等腰三角形

【解析】

（1）將A、B關坐標代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解；

（2）確定直線BC的解析式為y＝﹣x+3，根據點E、F關于直線x＝1對稱，即可求解；

（3）①△AOC與△BMN相似，則，即可求解；②分OQ＝BQ、BO＝BQ、OQ＝OB三種情況，分別求解即可．

解：（1））∵點A、B關于直線x＝1對稱，AB＝4，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

∴C點坐標為（0，3）；

（2）設直線BC的解析式為y＝mx+n，

則有：，解得，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

∵點E、F關于直線x＝1對稱，

又E到對稱軸的距離為1，

∴EF＝2，

∴F點的橫坐標為2，將x＝2代入y＝﹣x+3中，

得：y＝﹣2+3＝1，

∴F（2，1）；

（3）①如下圖，連接BC交MN于Q，

MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，

△AOC與△BMN相似，則，

即：，

解得：t或或1（舍去、），

故：t＝1；

②∵M（2t，0），MN⊥x軸，∴Q（2t，3﹣2t），

∵△BOQ為等腰三角形，∴分三種情況討論，

第一種，當OQ＝BQ時，

∵QM⊥OB

∴OM＝MB

∴2t＝3﹣2t

∴t；

第二種，當BO＝BQ時，在Rt△BMQ中

∵∠OBQ＝45°，

∴BQ，

∴BO，

即3，

∴t；

第三種，當OQ＝OB時，

則點Q、C重合，此時t＝0

而t＞0，故不符合題意

綜上述，當t或秒時，△BOQ為等腰三角形．