Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與直線相交于點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，連接，求的最小值；

（3）將點(diǎn)向下平移一個(gè)單位得到點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，使軸，再將沿軸上下平移得到，在平移過程中，直線與軸交于點(diǎn)，在直線上任取一點(diǎn)，連接，，能否以為直線邊構(gòu)成等腰直角三角形？若能，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）T1，T2（），T3（）

【解析】

（1）列方程組求兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DEC，連接BE，PD，則線段BE即為PA+PB+PC最小值的線段；(3)分四種情形：①當(dāng)O1K=KT時(shí)，且O1在x軸下方，②當(dāng)O1K=O1T時(shí)，且O1在x軸下方，③當(dāng)O1K=KT時(shí)，且O1在x軸上方，④當(dāng)O1K=O1T時(shí)，且O1在x軸上方，逐個(gè)進(jìn)行計(jì)算即可．

解：（1）由題意可得：

解得：

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（2）如圖2，將△APC繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EDC，連接BE，PD．

在中

當(dāng)x=0時(shí)，y=4

當(dāng)y=0時(shí)，

∴

∴∠ACB=30°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△PCD是等邊三角形，

∴PC=PD，

∵PA=DE，

∴PA+PB+PC=DE+PB+PD，

∵DE+PB+PD≥BE，

∴當(dāng)P，D在直線BE上時(shí)，PA+PB+PC的值最小，

∵在中

當(dāng)y=0時(shí)，

∴BC=CE=，∠BCE=90°，

∵EB⊥BC，

∴BE=BC=，

∴PA+PB+PC的最小值為．

（3）①當(dāng)O1K=KT時(shí)，且O1在x軸下方，如圖，則M（）

由題意可知：OB=OB1=，OD=2，OD1=3

∴

∴∠OKO1=30°

∵是等腰直角三角形

∴易證：△KTM≌△O1OK

∴OK=MT

設(shè)MT=t，則KM=

∴

解得：

∴T點(diǎn)坐標(biāo)為（）

②當(dāng)O1K=O1T時(shí)，且O1在x軸下方，如圖，作TN⊥y軸于N，

∵∠KON=∠TNO=∠TO1K=90°，

∴∠OO1K+∠O1KO=∠OO1K+∠TO1N=90°

∴∠O1KO=∠TO1N

∵O1K=O1T

∴△O1KO≌△TO1N（AAS）

∴OO1=TN=

∵∠OKO1=30°

即：

∴O1N=OK=9

∴ON=

∴T2（），

③當(dāng)O1K=KT時(shí)，且O1在x軸上方，方法同①，此時(shí)，點(diǎn)T不存在；

④當(dāng)O1K=O1T時(shí)，且O1在x軸上方，方法同②，可求得T3（）；

綜上所述，使△O1KT成為以O1K為直角邊的等腰直角三角形的點(diǎn)T的坐標(biāo)為：T1，T2（），T3（）