Question

【題目】下列圖形是將正三角形按一定規律排列，則第4個圖形中所有正三角形的個數有（ ）

A.160
B.161
C.162
D.163

Answer 1

【答案】B
【解析】方法一：
解：第一個圖形正三角形的個數為5，
第二個圖形正三角形的個數為5×3+2=17，
第三個圖形正三角形的個數為17×3+2=53，
第四個圖形正三角形的個數為53×3+2=161，
故選B．
方法二：
， ， ， ，… ，
∴ ，
（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）=an﹣a1 ，
∴an﹣a1=4×（3+32+…+3n﹣1）=4×（3+32+…+3n﹣1）= （用錯位相減法可求出）
∴ ，
∵a1=5，
∴ ．
由圖可以看出：第一個圖形中由角上的3個三角形加上中間1個小三角形再加上外圍1個大三角形共有5個正三角形；下一個圖形的三個角上的部分是上一個圖形的全部，另外加上中間一個小的三角形和外圍的一個大三角形，所以第二個圖形中有5×3+1+1=17個正三角形，第三個圖形中有17×3+1+1=53個正三角形，第四個圖形中有53×3+1+1=161個正三角形．