Question

11．某公司生產的某種商品每件成本為20元，經過市場調研發現，這種商品在未來40天內的日銷售量m（件）與時間t（天）的關系如下表：

時間t（天）	1	3	5	10	36	…
日銷售量m（件）	94	90	86	76	24	…

未來40天內，前20天每天的價格y₁（元/件）與時間t（天）的函數關系式為y₁=$\frac{1}{4}$t+25（1≤t≤20且t為整數），后20天每天的價格y₂（元/件）與時間t（天）的函數關系式為y₂=-$\frac{1}{2}$t+40（21≤t≤40且t為整數）．
       下面我們就來研究銷售這種商品的有關問題：
（1）認真分析上表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據的m（件）與t（天）之間的表達式；
（2）請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數關系式；
（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據函數性質求最大值后比較得結論．

解答 解：（1）經分析知：m與t成一次函數關系．設m=kt+b（k≠0），
將t=1，m=94，t=3，m=90
代入$\left\{\begin{array}{l}{94=k+b}\\{90=3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=96}\end{array}\right.$，
∴m=-2t+96；

（2）前20天日銷售利潤為P₁元，后20天日銷售利潤為P₂元，
則P₁=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20）=-$\frac{1}{2}$（t-14）²+578，
∴當t=14時，P₁有最大值，為578元．
P₂=（-2t+96）•（$\frac{1}{2}$t+40-20）=-t²+8t+1920=（t-44）²-16，
∵當21≤t≤40時，P₂隨t的增大而減小，
∴t=21時，P₂有最大值，為513元．
∵513＜578，
∴第14天日銷售利潤最大，最大利潤為578元．

點評 本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是：（1）熟練掌握各函數的性質和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗證其正確性；（2）最值問題需由函數的性質求解時，正確表達關系式是關鍵．同時注意自變量的取值范圍．