Question

【題目】如圖，拋物線:與:相交于點、，與分別交軸于點、，且為線段的中點.

（1）求的值；

（2）若,求的面積；

（3）拋物線的對稱軸為，頂點為，在（2）的條件下：

①點為拋物線對稱軸上一動點，當的周長最小時，求點的坐標；

②如圖12.2，點在拋物線上點與點之間運動，四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值和點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①P（，）；②存在，

【解析】

（1）由兩拋物線解析式可分別用a和b表示出A、B兩點的坐標，利用B為OA的中點可得到a和b之間的關系式；

（2）由拋物線解析式可先求得C點坐標，過C作CD⊥x軸于點D，可證得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性質可得到關于a的方程，可求得OA和CD的長，可求得△OAC的面積；

（3）①連接OC與l的交點即為滿足條件的點P，可求得OC的解析式，則可求得P點坐標；

②設出E點坐標，則可表示出△EOB的面積，過點E作x軸的平行線交直線BC于點N，可先求得BC的解析式，則可表示出EN的長，進一步可表示出△EBC的面積，則可表示出四邊形OBCE的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值，及E點的坐標．

解：

（1）在y=x2+ax中，

當y=0時，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，

∴B（﹣a，0），

在y=﹣x2+bx中，

當y=0時，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，

∴A（0，b），

∵B為OA的中點，

∴b=﹣2a，

∴；

（2）聯立兩拋物線解析式可得：，

消去y整理可得，

解得，，

當時，，

∴C（，），

過C作CD⊥x軸于點D，如圖1，

∴D（，0），

∵∠OCA=90°，

∴△OCD∽△CAD，

∴，

∴CD2=ADOD，即，

∴a1=0（舍去），（舍去），，

∴OA=-2a=，CD==1，

∴；

（3）①拋物線，

∴其對稱軸，點A關于l2的對稱點為O（0，0），C（ ，1），

則P為直線OC與l2的交點，

設OC的解析式為y=kx，

∴1=k，得k=，

∴OC的解析式為，

當時，，

∴P（，）；

②設E（m，）（），則，

而B（，0），C（ ，1），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

由，解得：k= ，b=-2，

∴直線BC的解析式為，

過點E作x軸的平行線交直線BC于點N，如圖2，

則，即x=

∴EN=

∴

∴S四邊形OBCE=S△OBE+S△EBC

，

，

∴當時，，

當時，，

∴E（，），．