Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，BC交直徑AD于點E，過點C作AD的垂線交AB的延長線于點G，垂足為F．連接OC．

（1）若∠G=48°，求∠ACB的度數；

（2）若AB=AE，求證：∠BAD=∠COF；

（3）在（2）的條件下，連接OB，設△AOB的面積為S1，△ACF的面積為S2．若tan∠CAF=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）48°（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）連接CD，根據圓周角定理和垂直的定義可得結論；
（2）先根據等腰三角形的性質得：∠ABE=∠AEB，再證明∠BCG=∠DAC，可得 ，則所對的圓周角相等，根據同弧所對的圓周角和圓心角的關系可得結論；
（3）過O作OG⊥AB于G，證明△COF≌△OAG，則OG=CF=x，AG=OF，設OF=a，則OA=OC=2x-a，根據勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，則a=x，代入面積公式可得結論．

（1）連接CD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠BCD=90°，

∵AD⊥CG，

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠ACB=∠G=48°；

（2）∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，

由（1）得：∠G=∠ACB，

∴∠BCG=∠DAC，

∴，

∵AD是⊙O的直徑，AD⊥PC，

∴，

∴，

∴∠BAD=2∠DAC，

∵∠COF=2∠DAC，

∴∠BAD=∠COF；

（3）過O作OG⊥AB于G，設CF=x，

∵tan∠CAF== ，

∴AF=2x，

∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，

∵∠OFC=∠AGO=90°，

∴△COF≌△OAG，

∴OG=CF=x，AG=OF，

設OF=a，則OA=OC=2x﹣a，

Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，

∴（2x﹣a）2=x2+a2，

a=x，

∴OF=AG=x，

∵OA=OB，OG⊥AB，

∴AB=2AG=x，

∴．