Question

在如圖8中，每個正方形有邊長為1 的小正方形組成：

 

（1）觀察圖形，請填寫下列表格：

正方形邊長	1	3	5	7	…	n（奇數）
黑色小正方形個數					…

正方形邊長	2	4	6	8	…	n（偶數）
黑色小正方形個數					…

（2）在邊長為n（n≥1）的正方形中，設黑色小正方形的個數為P₁，白色小正方形的個數為P₂，問是否存在偶數n，使P₂＝5P₁？若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解（1）觀察分析圖案可知正方形的邊長為1、3、5、7、…、n 時，黑色正方形的個數為1、5、9、13、2n－1（奇數）；正方形的邊長為2、4、6、8、…、n 時，黑色正方形的個數為4、8、12、16、2n（偶數）.

（2）由（1）可知n為偶數時P₁＝2n，所以P₂＝n²－2n.根據題意，得n²－2n＝5×2n，即n²－12n＝0，解得n₁＝12，n₂＝0（不合題意，舍去）.所以存在偶數n＝12，使得P₂＝5P₁.

說明　本題的第（2）小問是屬于存在性問題，求解時，可以先假設結論存在，進而從中找到數量關系，使問題獲解.