Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于B，C兩點，與y軸交于點A，直線y＝﹣x+2經過A，C兩點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D，直線MN與對稱軸交于點G，與拋物線交于M，N兩點（點N在對稱軸右側），且MN∥x軸，MN＝7．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）求點N的坐標．

（3）過點A的直線與拋物線交于點F，當tan∠FAC＝時，求點F的坐標．

（4）過點D作直線AC的垂線，交AC于點H，交y軸于點K，連接CN，△AHK沿射線AC以每秒1個單位長度的速度移動，移動過程中△AHK與四邊形DGNC產生重疊，設重疊面積為S，移動時間為t（0≤t≤），請直接寫出S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）點N的坐標為（5，-3）；（3）點F的坐標為：（3，2）或（，﹣）；（4）．

【解析】

（1）點A、C的坐標分別為（0，2）、（4，0），將點A、C坐標代入拋物線表達式即可求解；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝，點N的橫坐標為：，即可求解；

（3）分點F在直線AC下方、點F在直線AC的上方兩種情況，分別求解即可；

（4）分0≤t≤、當＜t≤、＜t≤三種情況，分別求解即可．

解：（1）直線y＝﹣x+2經過A，C兩點，則點A、C的坐標分別為（0，2）、（4，0），

則c＝2，拋物線表達式為：y＝﹣x2+bx+2，

將點C坐標代入上式并解得：b＝，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2…①；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝，

點N的橫坐標為： ，

故點N的坐標為（5，-3）；

（3）∵tan∠ACO＝＝tan∠FAC＝，

即∠ACO＝∠FAC，

①當點F在直線AC下方時，

設直線AF交x軸于點R，

∵∠ACO＝∠FAC，則AR＝CR，

設點R（r，0），則r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝，

即點R的坐標為：（，0），

將點R、A的坐標代入一次函數表達式：y＝mx+n得：，

解得：，

故直線AR的表達式為：y＝﹣x+2…②，

聯立①②并解得：x＝，故點F（，﹣）；

②當點F在直線AC的上方時，

∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x軸，

則點F′（3，2）；

綜上，點F的坐標為：（3，2）或（，﹣）；

（4）如圖2，設∠ACO＝α，則tanα＝，則sinα＝，cosα＝；

①當0≤t≤時（左側圖），

設△AHK移動到△A′H′K′的位置時，直線H′K′分別交x軸于點T、交拋物線對稱軸于點S，

則∠DST＝∠ACO＝α，過點T作TL⊥KH，

則LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，

則DT＝，DS＝，

S＝S△DST＝DT×DS＝；

②當＜t≤時（右側圖），

同理可得：

S＝＝DG×（GS′+DT′）＝3+（+﹣）＝；

③當＜t≤時，同理可得S=；

綜上，S＝．