Question

【題目】在正方形中，動(dòng)點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線上移動(dòng)；

(1)如圖①,當(dāng)分別移動(dòng)到邊的延長線上時(shí)，連接和與的關(guān)系為____ ；

(2)如圖②，己知正方形的邊長為點(diǎn)和分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿方向向終點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)，連接和，交于點(diǎn)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線的草圖，試求出線段的最小值．

(3)如圖③，在(2)的條件下，求周長的最大值；

Answer 1

【答案】（1）AE＝DF，AE⊥DF；（2）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線見解析；線段CP的最小值為；（3）△APD周長的最大值為．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)利用SAS證明△ADE≌△DCF，可得AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，延長FD交AE于點(diǎn)G，求出∠ADG＋∠DAE＝90°即可；

（2）根據(jù)AE⊥DF可知點(diǎn)P在以AD為直徑的圓弧上，當(dāng)O、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，線段CP最小，求出OC即可得到線段CP的最小值；

（3）如圖③，以AD為斜邊向外作等腰直角△ADG，過點(diǎn)G作GM⊥AE于M，GN⊥FD交FD的延長線于點(diǎn)N，連接GP，首先證明△AMG≌△DNG，四邊形GMPN是正方形，然后求出PA＋PD＝2GM，且GM的最大值＝AG＝，再由三角形周長公式可得答案．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，

∵動(dòng)點(diǎn)E，F分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)，

∴DE＝CF，

∴△ADE≌△DCF（SAS），

∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，

延長FD交AE于點(diǎn)G，如圖①所示，則∠CDF＋∠ADG＝90°，

∴∠ADG＋∠DAE＝90°，

∴∠AGD＝90°，

∴AE⊥DF，

故答案為：AE＝DF，AE⊥DF；

（2）由（1）可知AE⊥DF，

∴在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過程中，∠APD始終是90°，

∴點(diǎn)P在以AD為直徑的圓弧上，即劣弧DH，如圖所示，

設(shè)圓心為O，連接OC，則O、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，線段CP最小，

∵圓心O為AD中點(diǎn)，正方形的邊長為4，

∴OA＝OD＝OP＝2，

∴OC＝，

∴線段CP的最小值為：；

（3）如圖③，以AD為斜邊向外作等腰直角△ADG，過點(diǎn)G作GM⊥AE于M，GN⊥FD交FD的延長線于點(diǎn)N，連接GP，

∵∠GMP＝∠MPN＝∠N＝90°，

∴四邊形GMPN是矩形，

∴∠MGN＝∠AGD＝90°，

∴∠AGM＝∠DGN，

∵∠AMG＝∠DNG＝90°，AG＝DG，

∴△AMG≌△DNG（AAS），

∴AM＝DN，MG＝NG，

∴矩形GMPN是正方形，

∴PA＋PD＝PM＋AM＋PN－DN＝PM＋PN＝2PM＝2GM，

∵GM≤AG，

∴GM的最大值＝AG＝，

∴PA＋PD的最大值為，

∴△APD周長的最大值為：．