【題目】已知
，點
為射線
上一點，點
為
的中點，且
.當點
在射線
上運動時 ，則
與
和的最小值為_______．
【答案】
【解析】
作點D關于OA的對稱點D′，連接CD′交OA于點P′，連接DP,，根據軸對稱的性質得到P′D′=P′D，此時DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值，根據已知條件計算求出結果即可．
解：作點D關于OA的對稱點D′，連接CD′交OA于點P′，連接DP′，根據軸對稱的性質得到P′D′=P′D，此時DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值.
設DD′與OA交于點E，
∵∠O=30°，OD=3，由對稱性可知∠DEO=90°,
∴∠ODE=60°，DE=
OD=
,
∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD，
∴∠D′=∠DCD′=∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°，
∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，
∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′=
∴CP′=2DP′=2
∴DP′+CP′=3
故
與
和的最小值為3
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【題目】如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是BC邊上的中線，且AD＝2，延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE．
（1）求證：△AEC是直角三角形．
（2）求BC邊的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某校九年級開展征文活動，征文主題只能從“愛國”“敬業”“誠信”“友善”四個主題選擇一個，九年級每名學生按要求都上交了一份征文，學校為了解選擇各種征文主題的學生人數，隨機抽取了部分征文進行了調查，根據調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖．
（1）求共抽取了多少名學生的征文；
（2）將上面的條形統計圖補充完整；
（3）在扇形統計圖中，選擇“愛國”主題所對應的圓心角是多少；
（4）如果該校九年級共有1200名學生，請估計選擇以“友善”為主題的九年級學生有多少名．
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【題目】某水果店11月份購進甲、乙兩種水果共花費1700元，其中甲種水果8元/千克，乙種水果18元/千克．12月份，這兩種水果的進價上調為：甲種水果10元/千克，乙種水果20元/千克．
（1）若該店12月份購進這兩種水果的數量與11月份都相同，將多支付貨款300元，求該店11月份購進甲、乙兩種水果分別是多少千克？
（2）若12月份將這兩種水果進貨總量減少到120千克，設購進甲種水果a千克，需要支付的貨款為w元，求w與a的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，若甲種水果不超過90千克，則12月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應是多少元？
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【題目】列分式方程解應用題：
“5G改變世界，5G創造未來”．2019年9月，全球首個5G上海虹橋火車站，完成了5G網絡深度覆蓋，旅客可享受到高速便捷的5G網絡服務．虹橋火車站中5G網絡峰值速率為4G網絡峰值速率的10倍.在峰值速率下傳輸7千兆數據，5G網絡比4G網絡快630秒，求5G網絡的峰值速率．
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【題目】定義：若一個三角形中，其中有一個內角是另外一個內角的一半，則這樣的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在鈍角三角形
中，
，
，
，過點
的直線
交
邊于點
．點
在直線上，且
．
（1）若
，點在
延長線上．
① 當
，點恰好為
中點時，依據題意補全圖1.請寫出圖中的一個“半角三角形”：_______;
② 如圖2，若
，圖中是否存在“半角三角形”（△
除外），若存在，請寫出圖中的“半角三角形”，并證明；若不存在，請說明理由；
（2）如圖3，若
，保持
的度數與（1）中②的結論相同，請直接寫出
，
，
滿足的數量關系：______．
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【題目】如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M．
（1）求∠E的度數．
（2）求證：M是BE的中點．
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【題目】如圖，已知拋物線的頂點為A(1，4)，拋物線與y軸交于點B(0，3)，與x軸交于C、D兩點.點P是x軸上的一個動點.
(1)求此拋物線的解析式；
(2)當PA+PB的值最小時，求點P的坐標.
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