Question

【題目】如圖：在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF分別與AD、BC交于點E、F，EF⊥AC，連結AF、CE．

（1）求證：OE=OF；
（2）請判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD平行四邊形，

∴AD∥BC，OA=CO，

∴∠DAO=∠BCO，

在△AEO和△CFO中 ，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴OE=OF

（2）答：四邊形AECF是菱形，

∵△AEO≌△CFO，

∴AE=CF，

∵AE∥FC，

∴四邊形AECF平行四邊形，

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形

【解析】（1）首先根據平行四邊形的性質可得AD∥BC，OA=CO，再證明△AEO≌△CFO可得OE=OF；（2）根據△AEO≌△CFO可得AE=CF，然后可得四邊形AECF平行四邊形，再由條件EF⊥AC可得四邊形AECF是菱形．
【考點精析】利用平行四邊形的性質和菱形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．