Question

已知拋物線F₁：y=ax²+2ax+3a的頂點為M．
（1）若M在雙曲線上，求此拋物線解析式．
（2）將F₁繞點M旋轉180°后的拋物線為F₂，
①若F₂與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，已知△ABC為直角三角形，求a的值．
②若F₂與直線y=ax-3a交于P、Q兩點，若以PQ為直徑的圓經過點M，求a的值．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²+2ax+3a=a（x²+2x）+3a=a（x+1）²+2a，
∴頂點M為（-1，2a），
∵M在雙曲線上，
∴將x=-1，y=2a代入y=，得：2a=，
解得：a=-1，
∴此拋物線解析式為：y=-x²-2x-3；

（2）①∵F₁：y=a（x+1）²+2a，
∴F₂：y=-a（x+1）²+2a，
∵當y=0時，可得：-a（x+1）²+2a=0，
解得：x=-1±，
∴A（-1-，0），B（-1+，0），
∵當x=0時，y=a，
∴C（0，a），
∵△ABC為直角三角形，
∴AC²+BC²=AB²，
即[（-1-）²+a²]+[（-1+）²+a²]=[（-1-）-（-1+）]²，
解得：a=±1；

②∵F₂與直線y=ax-3a交于P、Q兩點，
∴-a（x+1）²+2a=ax-3a，
解得：x=-4或x=1，
∴P、Q兩點的坐標分別是（-4，-7a）、（1，-2a），
∵以PQ為直徑的圓經過點M，
∴∠PMQ=90°，
∴PM²+QM²=PQ²，
即[（-4+1）²+（-7a-2a）²]+[（1+1）²+（-2a-2a）²]=（-4-1）²+（-7a+2a）²，
解得：a=±．
分析：（1）首先利用配方法，可得y=ax²+2ax+3a=a（x²+2x）+3a=a（x+1）²+2a，則可求得頂點M的坐標，又由M在雙曲線上，即可求得a的值，繼而可得此拋物線解析式．
（2）①由將F₁繞點M旋轉180°后的拋物線為F₂，可得F₂：y=-a（x+1）²+2a，則可求得A、B、C的坐標，又由△ABC為直角三角形，由勾股定理，即可方程[（-1-）²+a²]+[（-1+）²+a²]=[（-1-）-（-1+）]²，解此方程即可求得答案；
②由F₂與直線y=ax-3a交于P、Q兩點，即可得方程-a（x+1）²+2a=ax-3a，繼而求得P、Q兩點的坐標，又由以PQ為直徑的圓經過點M，根據圓周角定理，即可得∠PMQ=90°，然后由勾股定理，即可求得a的值．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、直角三角形的性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．