Question

【題目】如圖，正方形ABCD，點P為射線DC上的一個動點，點Q為AB的中點，連接PQ，DQ，過點P作PE⊥DQ于點E．

（1）請找出圖中一對相似三角形，并證明；

（2）若AB＝4，以點P，E，Q為頂點的三角形與△ADQ相似，試求出DP的長．

Answer 1

【答案】（1）△DPE∽△QDA，證明見解析；（2）DP=2或5

【解析】

（1）由∠ADC＝∠DEP＝∠A＝90可證明△ADQ∽△EPD；

（2）若以點P，E，Q為頂點的三角形與△ADQ相似，有兩種情況，當△ADQ∽△EPQ時，設EQ＝x，則EP＝2x，則DE＝2x，由△ADQ∽△EPD可得，可求出x的值，則DP可求出；同理當△ADQ∽△EQP時，設EQ＝2a，則EP＝a，可得，可求出a的值，則DP可求．

（1）△ADQ∽△EPD，證明如下：

∵PE⊥DQ，

∴∠DEP＝∠A＝90，

∵∠ADC＝90，

∴∠ADQ＋∠EDP＝90，∠EDP＋∠DPE＝90，

∴∠ADQ＝∠DPE，

∴△ADQ∽△EPD；

（2）∵AB＝4，點Q為AB的中點，

∴AQ＝BQ＝2，

∴DQ＝，

∵∠PEQ＝∠A＝90，

∴若以點P，E，Q為頂點的三角形與△ADQ相似，有兩種情況，

①當△ADQ∽△EPQ時，，

設EQ＝x，則EP＝2x，則DE＝2x，

由（1）知△ADQ∽△EPD，

∴，

∴，

∴x＝

∴DP＝＝5；

②當△ADQ∽△EQP時，設EQ＝2a，則EP＝a，

同理可得，

∴a＝，

DP＝．

綜合以上可得DP長為2或5，使得以點P，E，Q為頂點的三角形與△ADQ相似．