Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

求此拋物線的解析式；

若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q在線段MB上移動(dòng)，且，設(shè)線段，，求與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線，分別與拋物線交于點(diǎn)E、G，與中的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F、問四邊形EFHG能否成為平行四邊形？若能，求m、n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m、n之間的數(shù)量關(guān)系是且．

【解析】

將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出的函數(shù)解析式；

過M作軸于N，根據(jù)拋物線的函數(shù)解析式，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，可分別在和中，用勾股定理表示出MN的長，由此可得到關(guān)于PM、x的函數(shù)關(guān)系式；由于，易證得∽，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可得到關(guān)于PM、的關(guān)系式，聯(lián)立兩式即可求出、x的函數(shù)關(guān)系式；

根據(jù)兩根拋物線的解析式和兩條直線的解析式，可求出E、F、G、H四點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到EF、GH的長，由于，若四邊形EFHG是平行四邊形，那么必有，可據(jù)此求出m、n的數(shù)量關(guān)系．

解：拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)；

，

解得．

拋物線的解析式為；

作，垂足為N．

由，易得，，，；

，，，；

根據(jù)勾股定理有：，

；

又，公共角，

∽，

；

由得：；

，

與x的函數(shù)關(guān)系式為；

四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數(shù)量關(guān)系是：且；

點(diǎn)E、G是拋物線分別與直線，的交點(diǎn)，

點(diǎn)E、G坐標(biāo)為，；

同理，點(diǎn)F、H坐標(biāo)為，

，；

四邊形EFHG是平行四邊形，，

，

；

由題意知，

；

因此四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數(shù)量關(guān)系是且．