Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在軸和軸的正半軸上，且滿足.

(1)求點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AP，設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A的坐標(biāo)為（1，0），B的坐標(biāo)為；

（2）當(dāng)0≤t＜時(shí)， ，當(dāng)t＞時(shí)， ；

（3）P的坐標(biāo)是（-3,0）或（3,2）或（1， ）或（1， ）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到OA、OB的長，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)勾股定理得到CB的長度，再根據(jù)三角形面積公式即可得到點(diǎn)A到直線CB的距離；再根據(jù)△ABP的面積=△ABC的面積-△ACP的面積，即可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）先求得∠ABC=90°，然后分兩種情況討論即可求得．

試題解析：（1）∵

∴OB2–3=0且OA–1=0

∴, OA=1

∵點(diǎn)分別在軸和軸的正半軸上

∴A的坐標(biāo)為（1,0），B的坐標(biāo)為

(2)∵C的坐標(biāo)是（-3,0）

∴OC=3，又∵OA=1，OB=

∴BC=2 ，AB=2, AC=4

∴BC2+AB2=AC2 ∴∠ABC=90°

①當(dāng)0≤t＜時(shí)，BP=-t,

②當(dāng)t＞時(shí)，

∴S=

(3)∵∠ABP=∠AOB=90°

∴ΔABP與ΔAOB相似分兩種情況討論：

①當(dāng)ΔABP∽ΔAOB時(shí)， 即, 得

∴P的坐標(biāo)是（-3,0）或（3,2）

②當(dāng)ΔABP∽ΔBOA時(shí)， 即, 得

過P作PH⊥AC于H,則OB∥PH,易求PH=, OH=1或PH=,OH=1

即P的坐標(biāo)是（-1， ）或（1， ）

綜上所述：P的坐標(biāo)是（-3,0）或（3,2）或（1， ）或（1， ）