Question

【題目】AD是△ABC的中線，G是AD上任意一點時（點G不與A重合），過點G的直線交邊AB于E，交射線AC于點F，設AE＝xAB，AF＝yAC（x、y≠0）．

（1）如圖1，若點G與D重合，△ABC為等邊三角形，且∠BDE＝30°，證明：△AEF∽△DEA；

（2）如圖2，若點G與D重合，證明：＝2；

（3）如圖3，若AG＝nAD，x＝，y＝，直接寫出n的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）n＝

【解析】

（1）先判斷出∠BAD＝30°，再判斷出∠F＝30°＝∠BAD，即可得出結論；

（2）過C作CH∥AB交EF于H，先判斷出△DEB≌△DHC，得出CH＝BE，再判斷出△FCH∽△FAE，即可得出結論；

（3）先判斷出點E是AB的中點，進而得出DE是△ABC的中位線，得出DE＝AC，DE∥AC，進而得出△DGE∽△AGF，即可得出結論．

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC，

∵AD是△ABC的中線，

∴∠BAD＝∠BAC＝30°，

∵∠BDE＝30°，

∴EF⊥AB，

∴∠F＝30°＝∠BAD，

∵∠AED＝∠FEA＝90°，

∴△AEF∽△DEA；

（2）如圖2，過C作CH//AB交EF于H，

∴∠B＝∠DCH，∠BED＝∠CHD，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD＝CD，

∴△DEB≌△DHC（AAS），

∴CH＝BE，

∵CH//AB，

∴△FCH∽△FAE，

∴＝，

∴＝，

∵＝，＝，

∴＝1﹣＝1﹣，＝﹣1＝﹣1

∴1﹣＝﹣1，

∴+ ＝2；

（3）如圖3，

∵y＝，

∴AF＝AC，

∴AC＝AF，

∵x＝，

∴AE＝AB，

∴點E是AB的中點，

∵AD是△ABC的中線，

∴點D是BC的中點，

∴DE＝AC＝AF＝AF，DE∥AC，

∴△DGE∽△AGF，

∴＝，

∴DG＝AG，

∴AD＝AG+DG＝AG+AG＝AG，

∴AG＝AD＝nAD，

∴n＝．