Question

探究題：
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于點E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于點F，DF的延長線交AC于點G，試問：
（1）DF與BC有何位置關系？請說明理由．
（2）FG與FE有何數量關系？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線定義推出∠CAF=∠DAF，根據SAS證△CAF≌△DAF，推出∠ADF=∠ACF，根據三角形的內角和定理求出∠B=∠ACF=∠ADF，根據平行線判定推出即可；
（2）根據平行線性質推出∠AGF=90°，根據角平分線性質推出即可．

解答：解：（1）DF∥BC，
理由是：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠DAF，
在△CAF和△DAF中

AC=AD ∠CAF=∠DAF AF=AF

，
∴△CAF≌△DAF（SAS），
∴∠ADF=∠ACF，
∵CE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，
∴∠B=∠ACF=∠ADF，
∴DF∥BC．

（2）FG=EF，
證明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠AGF=∠ACB=90°，
∴FG⊥AC，
∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，
∴FG=EF．

點評：本題考查了全等三角形性質和判定，三角形的內角和定理，角平分線定義和性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，題目較好，難度適中．