Question

25、（探究題）如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線，那么AC與AB+BD相等嗎？為什么？

Answer 1

分析：證明線段的和差問題，通常采用截取或延長的方法，本題中AD是角平分線，故以AD為公共邊，在AC上截取AE=AB，構造△ADE≌△ADB，從而把BD轉化成DE，再通過等角對等邊證明DE=EC．

解答：解：AC=AB+BD，
理由：如答圖所示，
在AC上截取AE=AB，連接DE，
∵AD平分∠BAE，
∴∠1=∠2．
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵∠B=2∠C，
∴∠AED=2∠C=∠EDC+∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，∴EC=BD，
∴AC=AE+EC=AB+BD．

點評：本題考查了三角形全等性質、判定及線段的和差問題；證明線段的和差問題，通常采用截取或延長的方法結合全等三角形的性質解答．