Question

4．如圖①，拋物線y=ax²+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=-x+2經過A、C兩點，且AB=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線l平行于x軸，直線l從點C出發以每秒1個單位長度的速度沿y軸負半軸方向向點O運動，到點O停止，且分別交線段AC、線段BC、拋物線、y軸于點E、D、F（點F在對稱軸的右側）、H，當點D是線段EF的三等分點時，求t的值；
（3）如圖②，在直線l運動的過程中，過點D作x軸的垂線交x軸于點G，四邊形OHDG與△AOC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）求出A、B、C三點坐標，代入拋物線的解析式，解方程組即可．
（2）分兩種情形①如圖①中，當DF=2DE時，點F坐標（4t，2-t），②如圖2中，當DE=2DF時，點F坐標（$\frac{5}{2}$t，2-t），想辦法列出方程解決問題．
（3）分兩種情形①如圖③當0＜t≤1時，重疊部分是五邊形EHOGK，②如圖④中，當1＜t＜2時，重疊部分是四邊形OHEA，分別計算即可．

解答 解：（1）∵直線y=-x+2與x軸、y軸的交點為A（2，0），C（0，2），AB=2，
∴B（4，0），
把A（2，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y=ax²+bx+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{c=2}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．

（2）∵OA=OC=2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵直線l∥x軸，
∴△HEC是等腰直角三角形，
∵OA=AB=2，
∴HE=DE，
①如圖①中，當DF=2DE時，點F坐標（4t，2-t），

∴2-t=$\frac{1}{4}$×（4t）²-$\frac{3}{2}$×4t+2，
∴t=$\frac{5}{4}$或0（舍棄），
②如圖2中，當DE=2DF時，點F坐標（$\frac{5}{2}$t，2-t），

∴2-t=$\frac{1}{4}$×（$\frac{5}{2}$t）²-$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{2}$t+2，
∴t=$\frac{44}{25}$或0（舍棄），
綜上所述，當點D是線段EF的三等分點時，t的值為$\frac{5}{4}$s或$\frac{44}{25}$s．

（3）①如圖③當0＜t≤1時，重疊部分是五邊形EHOGK，

S=S_矩形OHDG-S_△DEK=2t•（2-t）-$\frac{1}{2}$t²=-$\frac{5}{2}$t²+4t，
②如圖④中，當1＜t＜2時，重疊部分是四邊形OHEA，

S=$\frac{1}{2}$（t+2）（2-t）=-$\frac{1}{2}$t²+2，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{2}{t}^{2}+4t}&{（0＜t≤1）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+2}&{（1＜t＜2）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、平行線的性質、多邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會靈活應用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．