Question

【題目】如圖，AD是△ABC的高線，在BC邊上截取點E，使得CE＝BD，過E作EF∥AB，過C作CP⊥BC交EF于點P。過B作BM⊥AC于M，連接EM、PM。

(1)依題意補全圖形；

(2)若AD＝DC，探究EM與PM的數量關系與位置關系，并加以證明。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EM⊥PM，EM=PM，證明見解析．

【解析】

（1）根據要求畫出圖形即可；

（2）連接MD，證明△ABD≌△PEC，則AD=PC，可得出PC=DC，再證△DCM≌△PCM，則MD=MP，∠PMC=∠DMC，再證△MDB≌△MEC，則MD=ME，∠BMD=∠CME，即可得出EM與PM的數量關系與位置關系.

解：（1）補全的圖形如圖所示；

（2）EM⊥PM，EM=PM.

證明：連接DM，∵EF∥AB，∴∠ABD=∠PEC，

∵AD是△ABC的高線，CP⊥BC，

∴∠ADB=∠PCE=90°，

∵BD=EC，

∴△ABD≌△PEC，

∴AD=PC，

∵AD＝DC，

∴PC=DC，

∵AD是△ABC的高線，CP⊥BC，AD＝DC，

∴∠ACD=∠ACP=45°，

又∵CM=CM，

∴△DCM≌△PCM，

∴MD=MP，∠PMC=∠DMC；

∵BM⊥AC，∠ACD=45°，

∴MB=MC，∠ACD=∠MBC=45°，

又∵BD=CE，

∴△MDB≌△MEC，

∴MD=ME，∠BMD=∠CME，

∴MP=ME；

∵BM⊥AC，

∴∠BMD +∠DMC=90°，

∵∠BMD=∠CME，∠PMC=∠DMC，

∴∠CME +∠PMC =90°，即MP⊥ME，

∴EM與PM的數量關系與位置關系是：EM⊥PM，EM=PM.