Question

【題目】(1)（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，請(qǐng)判斷線(xiàn)段BE與AF的數(shù)量關(guān)系并寫(xiě)出推斷過(guò)程；

(2)（拓展研究）在(1)的條件下，如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE，CE，AF，線(xiàn)段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；

(3)（結(jié)論運(yùn)用）在(1)(2)的條件下，若△ABC的面積為2，當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）BE＝AF．見(jiàn)解析；（2）無(wú)變化．證明見(jiàn)解析；（3）線(xiàn)段AF的長(zhǎng)為或．

【解析】

（1）首先證明△ADB是等腰直角三角形，推出AB=AD，再證明AF=AD即可解決問(wèn)題；
（2）先利用三角函數(shù)得出，，推出，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進(jìn)而得出結(jié)論；

(3)分兩種情況計(jì)算，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BF上時(shí)，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=-，借助（2）得出的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BF的延長(zhǎng)線(xiàn)上，同前一種情況一樣即可得出結(jié)論．

（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，

根據(jù)勾股定理得，BC＝＝AB，

又∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴AD＝BC＝AB，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴AF＝EF＝AD＝AB＝BE，

∴BE＝AF．

（2）無(wú)變化．

證明：如圖2，在Rt△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴sin∠ABC＝＝，

在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC＝，

∴，

∵∠FCE＝∠ACB＝45°，

∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，

∴∠FCA＝∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，

∴，

∴BE＝AF，

∴線(xiàn)段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無(wú)變化；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AF上時(shí)，如圖2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根據(jù)勾股定理得，BF=，
∴BE=BF-EF=-，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=-1，
當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BF的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=，
∴，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根據(jù)勾股定理得，BF=，
∴BE=BF+EF=+，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=+1．
即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)候，線(xiàn)段AF的長(zhǎng)為-1或+1．