Question

（2003•泰州）如圖，將矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折疊后，點C落在點E處，且BE交AD于點F．
（1）若AB=4，BC=8，求DF的長；
（2）當DA平分∠EDB時，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證BF=FD，在直角△ABF中，根據勾股定理就可以求出DF的長．
（2）已知DA平分∠EDB，根據矩形的角是直角，就可以求出∠ADB，∠BDC的度數，就可以把求兩線段的比值的問題轉化為三角函數的問題．
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠FDB，
又∵∠DBC=∠DBE，
∴∠FDB=∠FBD，
∴BF=FD，
設AF=x，則BF=DF=8-x，
在Rt△ABF中，根據勾股定理得到4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
∴DF=8-3=5；

（2）∵DA平分∠EDB，
即∠EDA=∠ADB，
設∠EDA=∠ADB=y°，則∠EDB=2y°，
∴∠BDC=2y°，
∵∠ADC=90°，
∴3y=90°，
解得y=30°，
∴∠DBC=30°，
在Rt△CDB中，tan∠DBC==tan30°=，
又∵AB=CD，
∴=．
點評：本題主要根據折疊的性質，得到BF=DF，從而根據勾股定理解決問題．并且本題利用了三角函數，把求兩線段比值的問題轉化為求三角函數的值的問題．