Question

如圖，E是正方形ABCD的邊AD上的動點，F是邊BC延長線上的一點，且BF=EF，AB=12，設AE=x，BF=y．
（1）當△BEF是等邊三角形時，求BF的長；
（2）求y與x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）把△ABE沿著直線BE翻折，點A落在點A′處，試探索：△A′BF能否為等腰三角形？如果能，請求出AE的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

（1）當△BEF是等邊三角形時，∠ABE=30°．
∵AB=12，
∴AE=4

3

，
∴BF=BE=8

3

．

（2）作EG⊥BF，垂足為點G，

根據題意，得EG=AB=12，FG=y-x，EF=y，
∴y²=（y-x）²+12²，
∴所求的函數解析式為y=

x2+144

2x

（0＜x＜12）．


（3）∵∠AEB=∠FBE=∠FEB，
∴點A'落在EF上，
∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，
∴要使△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F．
而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，
∴y-x=12．
∴

x2+144

2x

-x=12．
整理得x²+24x-144=0，
解得x=-12±12

2

，
經檢驗：x=-12±12

2

都原方程的根，
但x=-12-12

2

不符合題意，舍去，
當AE=12

2

-12時，△A'BF為等腰三角形．