Question

【題目】如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BN=PC．其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，

∴PM=BC，PN=BC。∴PM=PN。正確。

②在△ABM與△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，

∴△ABM∽△ACN，∴。正確。

③∵∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠ABM=∠ACN=30°。

在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，

∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC。

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM。∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°。

∴∠MPN=60°。∴△PMN是等邊三角形。正確。

④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∵CN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°。∴BN=CN。

∵P為BC邊的中點(diǎn)，∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形。

∴BN=PB=PC。正確。

綜上所述，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是4個(gè)。故選D。