Question

已知二次函數圖象的對稱軸為直線x=2，經過兩點（0，3）和（-1，8），并與x軸的交點為B、C（點C在點B左邊），其頂點為點P．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）如果直線y=x向上或向下平移經過點P，求證：平移后的直線一定經過點B；
（3）在（2）的條件下，能否在直線y=x上找一點D，使四邊形OPBD是等腰梯形？若能，請求出點D的坐標；若不能，請簡要說明你的理由．

Answer 1

解：（1）設二次函數的解析式為y=a（x-2）²+m，
∵拋物線經過點（0，3）和（-1，8），
∴，
解得，
∴二次函數的解析式為y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）拋物線y=x²-4x+3與x軸的交點為B（3，0）、C（1，0），
頂點為P（2，-1）．
由題意，設平移后直線為y=x+b，
由已知，-1=2+b，
解得b=-3．
∴直線y=x平移后經過點P的直線為y=x-3，
當x=3時，y=0．
∴直線y=x-3經過點B（3，0）；

（3）如圖，過點D作DM⊥x軸于點M，過點P作PN⊥x軸于點N．
在Rt△ONP中，OP²=ON²+PN²=5．
∵點D在直線y=x上，
∴設點D的坐標為（x，x）．
在Rt△BDM中，BD²=BM²+DM²=（3-x）²+x²
由OP²=BD²得，
（3-x）²+x²=5，
解得x₁=2，x₂=1．
當x=1時，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去．
∴x=2．
∴點D的坐標為（2，2）．
分析：（1）先根據二次函數圖象的對稱軸為直線x=2，設出解析式，再根據拋物線經過點（0，3）和（-1，8），求出自變量，即可得到二次函數的解析式；
（2）求出平移后經過P點直線的解析式，而B點坐標已知，代入解析式正好符合，可證平移后的直線一定經過點B；
（3）在四邊形OPBD是等腰梯形且D在y=x這條直線上時，作如圖所示輔助線，用勾股定理求出D點坐標．
點評：本題主要考查二次函數的綜合運用，其中涉及二次函數對稱軸、解析式求法、一次函數及勾股定理的運用．