Question

已知二次函數圖象的頂點是（-1，2），且過點(0，

3

2

)．
（1）求二次函數的表達式，并在圖中畫出它的圖象；
（2）求證：對任意實數m，點M（m，-m²）都不在這個二次函數的圖象上．

Answer 1

分析：（1）可設此二次函數的表達式為y=a（x+1）²+2，把點（0，

3

2

）代入即可解得a值，所以y=-

1

2

（x+1）²+2，作圖即可；
（2）把點M（m，-m²）代入二次函數解析式，通過等式左右是否相等判斷是否在二次函數圖象上．

解答：解：（1）依題意可設此二次函數的表達式為y=a（x+1）²+2，
又點（0，

3

2

）在它的圖象上，
所以

3

2

=a+2，解得，a=-

1

2

，
所求為y=-

1

2

（x+1）²+2，或y=-

1

2

x²-x+

3

2

．
令y=0，得x₁=1，x₂=-3，
畫出其圖象；

（2）證明：若點M在此二次函數的圖象上，
則-m²=-

1

2

（m+1）²+2，
得m²-2m+3=0，
方程的判別式：4-12=-8＜0，該方程無實根，
所以，對任意實數m，點M（m，-m²）都不在這個二次函數的圖象上．

點評：主要考查待定系數法求二次函數的解析式和圖象上的點與解析式的關系．