Question

【題目】已知，△AOB中，AB=BC=2,∠ABC=90°，點O是線段AC的中點，連接OB，將△AOB繞點A逆時針旋轉α度得到△ANM，連接CM，點P是線段CM的中點，連接PN、PB.

（1）如圖1，當α=180°時，直接寫出線段PN和PB之間的位置關系和數量關系；

（2）如圖2，當α=90°時，探究線段PN和PB之間的位置關系和數量關系，并給出完整的證明過程；

（3）如圖3，直接寫出當△AOB在繞點A逆時針旋轉的過程中，線段PN的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1)PN=PB，PN⊥PB；(2)略；(3)

【解析】（1）由旋轉的性質可得△ABC≌△ANM,再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得到PN和之間的位置關系和數量關系；（2）結論一樣，證明的方法與（1）一樣；（3）連接OP，利用勾股定理可得出線段PN的最大值和最小值.

解：（）， ．

（）連接，

∵，

∴．

∵，

∴．

∵≌，

∴， ，

∴， ,

又∵,

∴四邊形為正方形．

∵為中點， 為中點，

∴，

∴， ，

∴．

∵，

∴．

≌，

∴， ．

∵，

∴，

∴．

（）連接．

∵， 為， 中點，

∴．

在中，

∵， ，

∴．

．

∵，

∴．

最大值為，最小值為．