Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，E、F在菱形的邊BC，CD上．

（1）證明：BE=CF．

（2）當點E，F分別在邊BC，CD上移動時（△AEF保持為正三角形），請探究四邊形AECF的面積是否發生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．

（3）在（2）的情況下，請探究△CEF的面積是否發生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）先求證AB=AC，進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根據△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題；

（3）當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又根據S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則△CEF的面積就會最大.

試題解析：（1）證明：連接AC，

∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=∠ADC=60°

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∴△ABC、△ACD為等邊三角形

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF．（ASA）

∴BE=CF．

（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，

則S△ABE=S△ACF．

故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，

是定值．

作AH⊥BC于H點，

則BH=2，

S四邊形AECF=S△ABC

=

=

=；

（3）解：由“垂線段最短”可知，

當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．

故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，

正三角形AEF的面積會最小，

又S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則△CEF的面積就會最大．

由（2）得，S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF

=﹣=．