Question

【題目】學校需要購買一批籃球和足球，已知一個籃球比一個足球的進價高30元，買兩個籃球和三個足球一共需要510元．

（1）求籃球和足球的單價；

（2）根據實際需要，學校決定購買籃球和足球共100個，其中籃球購買的數量不少于足球數量的，學校可用于購買這批籃球和足球的資金最多為10500元．請問有幾種購買方案？

（3）若購買籃球x個，學校購買這批籃球和足球的總費用為y（元），在（2）的條件下，求哪種方案能使y最小，并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】（1）120，90；（2）11種；（3）購買籃球40，足球60個時，y最小值為10200元．

【解析】

試題分析：（1）設一個籃球x元，則一個足球（x﹣30）元，根據“買兩個籃球和三個足球一共需要510元”列出方程，即可解答；

（2）設購買籃球x個，足球（100﹣x）個，根據“籃球購買的數量不少于足球數量的，學校可用于購買這批籃球和足球的資金最多為10500元”，列出不等式組，求出x的取值范圍，由x為正整數，即可解答；

（3）表示出總費用y，利用一次函數的性質，即可確定x的取值，即可確定最小值．

試題解析：（1）設一個籃球x元，則一個足球（x﹣30）元，由題意得：2x+3（x﹣30）=510，解得：x=120，∴一個籃球120元，一個足球90元；

（2）設購買籃球x個，足球（100﹣x）個，由題意可得：，解得：40≤x≤50，∵x為正整數，∴x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，∴共有11種購買方案；

（3）由題意可得y=120x+90（100﹣x）=30x+9000（40≤x≤50），∵k=30＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當x=40時，y有最小值，y最小=30×40+9000=10200（元），所以當x=40時，y最小值為10200元．