Question

閱讀材料，解答問題：
命題：如圖，在銳角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的外接圓半徑為R，則

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．
證明：連接CO并延長交⊙O于點D，連接DB，則∠D=∠A．
因為CD是⊙O的直徑，所以∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，sin∠D=

BC

DC

=

a

2R

，
所以sinA=

a

2R

，即

a

sinA

=2R，
同理：

b

sinB

=2R，

c

sinC

=2R，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
請閱讀前面所給的命題和證明后，完成下面（1）（2）兩題：
（1）前面閱讀材料中省略了“

b

sinB

=2R，

c

sinC

=2R”的證明過程，請你把“

b

sinB

=2R”的證明過程補寫出來．
（2）直接運用閱讀材料中命題的結論解題，已知銳角△ABC中，BC=

3

，CA=

2

，∠A=60°，求△ABC的外接圓半徑R及∠C．

Answer 1

分析：（1）根據已知的證明過程，同樣可以分別把∠B和b；∠C和c構造到直角三角形中，根據銳角三角函數進行證明；
（2）根據（1）中證明的結論

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，代入計算．

解答：（1）證明：連接CO并延長交⊙O于點D，連接DB，則∠A=∠D；
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，
sin∠D=

BC

DC

=

b

2R

，
∴sinB=

b

2R

，即

b

sinB

=2R；

（2）解：由命題結論知

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴

3

sin60°

=

2

sinB

，
∴sinB=

2

2

；
∵BC＞CA，
∴∠A＞∠B，
∴∠B=45°，
∴∠C=75°．
由

3

sin60°

=2R，
得R=1．

點評：構造直徑所對的圓周角，是圓中構造直角三角形常用的一種方法．熟記這一結論：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，便于計算．